[백준 5691] 평균 중앙값 문제 (증명)

5691번: 평균 중앙값 문제

• 세 수의 평균은 (A+B+C) / 3
• “1≤A≤B≤10의9승”라는 조건이 주어져 있다. ← 매우 중요!
• 중앙값 : 에서 C를 추가해 오름차순 정렬했을 때 중간 값
  • A<B<C인 경우
    • B가 중앙값이 됨
    • 평균 = 중앙값이므로 B = (A+B+C) / 3, 3B = A+B+C, C = 2B-A
  • A<C<B인 경우
    • C가 중앙값이 됨
    • 평균 = 중앙값이므로 C = (A+B+C) / 3, 2C = A+B, C = (A+B)/2
  • C<A<B인 경우
    • A가 중앙값이 됨
    • 평균 = 중앙값이므로 A = (A+B+C) / 3, 3A = A+B+C, C = 2A-B
• 이때 A와 B는 항상 양수이고 B는 A보다 항상 크거나 같으므로, C가 될 수 있는 2B-A, (A+B)/2, 2A-B 중에서 가장 작은 정수는 2A-B 가 된다.
  • 왜? 2B-A, (A+B)/2 는 문제에 주어진 조건으로 인해 어떤 경우에도 항상 양수이지만, 2A-B 는 A와 B간의 간격이 큰 경우 음수가 나올 수도 있기 때문임.
    그래서 답인 C는 2A-B 로 구하게 된다!

풀이 (Swift)

처음엔 그냥 예제 코드 보고 감으로 "A가 중앙값이 될 때가 평균=중앙값이면서 C가 최소인 경우인 것 같다"라고 생각하고 풀긴 했지만, 맞고 나서 왜 그렇게 되는 건지 구글링하며 나름 증명을 정리해 보았다.

while let input = readLine() {
    if input == "0 0" {
        break
    }
    let inputArr = input.split(separator: " ").map { Int($0)! }
    print(inputArr[0] * 2 - inputArr[1])
}